Desviación típica na ruleta
La desviación típica na ruleta, la raíz cuadrada de la varianzamatemátiquesVarianzaUna midida de cuánto s'esparden los resultaos alredor del valor esperáu. Alta nel plenu, baxa nes suertes sencielles.Lleer too →, ye la distancia típica ente un resultáu y el so valor esperáu.
Per cada $1 apostáu, σ ye 5,84 en un plenu y 1,00 nel coloráu. Multiplícala pola apuesta y pola raíz cuadrada del númberu de tirades pa tener la d'una sesión.
Regla práctica
Alredor de dos tercios de les sesiones queden a menos d'una σ del valor esperáu y el 95% a menos de dos. En 100 tirades al coloráuapuestaColoráuSuerte senciella a los 18 númberos coloraos. En francés: rouge.Lleer too → con $10 (esperáu −$27, σ = $100), la mayoría de les sesiones queden ente −$127 y +$73, y cuasi toes ente −$227 y +$173. Un resultáu fuera d'esi rangu nun prueba nada, quitando qu'una sesión de cada venti lo fai.
Por qué √N
La perda esperadamatemátiquesPerda esperadaEl valor esperáu por la cantidá total apostada; la cantidá media que se pierde nuna sesión o nun periodu.Lleer too → crez en proporción a N; la dispersión crez en proporción a √N. Con N pequeñu, la dispersión manda y les sesiones son monedes al aire con una llixera inclinación. Con N grande, la perda supera la dispersión. El cruce, onde la perda esperada ye igual a una desviación típicamatemátiquesDesviación típicaRaíz cuadrada de la varianza; la distancia típica d'un resultáu al valor esperáu.Lleer too →, ta en N = (σ/ventaya)² = (1/0,027)² ≈ 1.370 tirades pa les suertes sencielles y (5,84/0,027)² ≈ 46.800 pa los plenosapuestaPlenuUn solu númberu, paga 35:1.Lleer too →. Per baxo d'eses cifres decide la suerte; per riba, la ventaya.
Cómo usala
Pa xulgar si una sesión foi inusual, calcula (resultáu − VE)/σ. Un xugador de $10 al coloráu qu'acaba 100 tirades con +$150 ta a (150 + 27)/100 = 1,77σ, un resultáu d'ún de cada 25: suerte, nada estraordinariu. Un xugador de plenos colos mesmos +$150 ta a 0,3σ: una nueche corriente. El mesmu resultáu en dólares quier dicir coses distintes en apuestes distintes.
Error típicu d'una proporción
La mesma aritmética dizte cuántes tirades faen falta pa ver la ventaya nos datos. L'error típicu d'una proporción observada d'aciertos ye √(p(1 − p)/N). Pal coloráu con N = 1.000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. La diferencia ente una moneda equilibrada y el coloráu ye del 1,35%, asina que tres de 1.000 tirades inda nun pues estremalos con confianza. Tres de 10.000, l'error típicu ye del 0,5% y yá pues. Esta ye tamién la razón pola que detectar el sesgu d'un cilindru precisa tantes tirades.
Un avisu sobre l'asimetría
Los resultaos de los plenos tán mui lloñe de siguir una distribución normal en una sesión curtia: la mayoría de les sesiones son un −$10 constante per tirada con saltos ocasionales de +$350. La regla de ±1σ describe bien la dispersión, pero mal la forma, hasta que N llega a los cientos. Pa les suertes senciellesapuestaSuerte senciellaColoráu/prietu, impar/par, pasa/falta. 18 númberos, paga 1:1.Lleer too →, l'aproximación normal ye bona a partir d'unes 30 tirades.
Fórmula
Entrugues
Ye la prueba de que xugasti unes 40 sesiones, o de que tuviesti la sesión afortunada de cada cuarenta. Repítela.
Bailla cada vez menos: l'error típicu de la media ye σ/√N. Con N = 10.000 ye l'1% de l'apuesta.
Matemátiques pa divertise
Próbalo tu primero. Cada solución ta escondida; ábrila cuando teas preparáu.
En 100 tirades d'un cilindru européu, una unidádineruUnidáL'apuesta base cola que trabaya un sistema o un xugador. Les progresiones descríbense en unidaes pa que valgan en cualquier mesa.Lleer too → al coloráuapuestaColoráuSuerte senciella a los 18 númberos coloraos. En francés: rouge.Lleer too → va ganando con polo menos 51 aciertos, y una unidá a un plenuapuestaPlenuUn solu númberu, paga 35:1.Lleer too → va ganando si el so númberu sal polo menos 3 vegaes. Usa la campana de Gauss pa estimar les dos probabilidaes, y dempués compárales coles rempuestes exactes.
Amosar la solución
Rempuesta Coloráu: la campana da 35,6% y la rempuesta exacta ye 35,5%. El plenu: la campana da 55,0% y la rempuesta exacta ye 50,9%. L'atayu funciona pal coloráu y falla pal númberu solu.
Coloráu: los aciertos dan de media 100 × 18/37 = 48,6, con una dispersión de √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. Dir ganando quier dicir 51 o más; el puntu mediu, 50,5, ta 0,37 dispersiones per enriba de la media, y la campana pon un 35,6% per enriba d'eso. Sumando les probabilidaes exactes de 51, 52 … 100 aciertos sal 35,5%.
Plenu: los aciertos dan de media 100/37 = 2,70, con una dispersión de √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Tres aciertos o más quier dicir per enriba de 2,5, 0,12 dispersiones per baxo de la media: 55,0% según la campana. Exactamente, ye 1 menos les probabilidaes de 0, 1 y 2 aciertos, 6,5% + 17,9% + 24,7%, lo que dexa 50,9%.
La campana necesita abondos resultaos a los dos llaos de la media. El coloráu tiénlos dempués de 100 tirades; un númberu que sal de media menos de tres vegaes, non. La curva inclusive-y da un 8,7% a «nengún aciertu», cuando la probabilidá real ye 6,5%. Taylor (2021) pon la binomial y la campana una al llau de l'otra de la mesma manera.
Nota d'humor
Una sesión de cada venti queda fuera de dos sigmes. Siempres hai daquién na cola.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.