El criteriu de Kelly y la ruleta
El criteriu de Kelly diz-y a un xugador con ventaya cuánto apostar. Pa la ruleta da una rempuesta clara: nada.
Apuesta de Kelly = ventaya / proporción. Con una ventaya negativa, la fórmula devuelve una fracción negativa, lo que quier dicir nun apostar. El criteriu sigue siendo útil pa entender por qué los xugadores de sesgu dimensionaben les sos apuestes como lo facíen, y por qué tolos demás tienen de dimensionales según el so presupuestu.
El criteriu
John Kelly (1956) entrugóse cómo tendría de dimensionar les sos apuestes un xugador con una ventaya conocida pa maximizar el crecimientu a llargu plazu del bankrolldineruBankrollLa cantidá total reservada pa xugar. La xestión del bankroll ye decidir qué parte d'ella arriesgar per apuesta y per sesión.Lleer too →. La rempuesta, pa una apuesta que paga b a 1 con probabilidámatemátiquesProbabilidáLa posibilidá d'un resultáu, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un númberu: 1/37 = 2,70%.Lleer too → de ganar p y probabilidá de perder q = 1 − p, ye apostar la fracción f* = (bp − q) / b del bankroll. Un f* positivu quier dicir apostar esa fracción; cero o negativu quier dicir nun apostar. Kelly trabayaba nos Bell Labs, y el so artículu, «A new interpretation of information rate», plantegaba el problema dientro de la teoría de la información de Claude Shannon: un xugador que recibe chivatazos per una llinia con ruíu, con pagos xustos, pue facer crecer el bankroll como muncho al ritmu al que la llinia tresmite información. En 1961, Leo Breiman demostró que l'apuesta de Kelly, a llargu plazu, acaba per delantre de cualquier estratexa esencialmente distinta y algama una meta fixada en más o menos el menor tiempu posible.
L'apuesta de Kelly na ruleta
Pal coloráuapuestaColoráuSuerte senciella a los 18 númberos coloraos. En francés: rouge.Lleer too →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Pa un plenuapuestaPlenuUn solu númberu, paga 35:1.Lleer too →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Toles apuestes estándar dan una fracción de Kelly negativa, porque toes tienen una ventaya negativa, y l'apuesta óptima pal crecimientu ye cero. Apostar según Kelly na ruleta ye una manera formal de dicir lo que diz la páxina de la ventaya de la casa: nun esiste dengún importe col que una apuesta d'esperanza negativa faiga crecer un bankroll.
Ónde sí s'aplicó Kelly
Los xugadores de sesgu teníen una ventaya y un problema de dimensionamientu. Jagger, los García-Pelayo y los Eudaemons tuvieron que decidir cuánto apostar según la so ventaya midida, y apostar de menos desaprovecha la ventaya, mientres qu'apostar de más arriesga la ruina enantes de que la ventaya se manifieste. Pa una casiellamaterialCasiellaÚn de los 37 compartimentos numeraos del rotor. Tamién: ranura, buecu.Lleer too → que sal 1 de cada 30 veces, Kelly diz el 0,57% del bankroll per tirada a esi númberu: con $10.000, unos $57 per tirada, pa un crecimientu típicu d'alredor del 0,054% per tirada, o ×1,7 en 1.000 tirades. La ganancia media ye el doble, el 0,11% per tirada, pero Kelly apunta al bankroll típicu, non al mediu, que delles poques raches afortunaes inflen. La metá de Kelly ye la opción práctica habitual porque la estimación de la ventaya ye incierta.
Lo típico y la media
La distancia ente el bankroll típicu y el bankroll mediu ye grande. Toma una casiella que sal 1 vez de cada 25, una ventaya del 44%, la cifra que da Thorp pal so aparatu. Kelly apuesta-y el 1,26% del bankroll. Tres 1.000 tirades, el bankroll típicu multiplicóse per unos 11,5, mientres que el mediu, arrastráu p'arriba por delles poques raches de muncha suerte, multiplicóse per unos 249. Apostar más que Kelly xube la media y baxa el resultáu típicu: col doble de l'apuesta de Kelly, el bankroll típicu namái se duplica, y con dos veces y media l'apuesta de Kelly yá mengua, anque cada apuesta siga teniendo una ventaya del 44%. Apostar menos cuesta poco: cola metá de l'apuesta caltiénense unes tres cuartes partes del crecimientu.
Cuando la ventaya ye una suposición
Kelly supón que la ventaya se conoz. Na mesa estímase, y la estimación suel ser enforma alta. L'exemplu d'Epstein, basáu nel 44% de Thorp, ye un númberu que salió 49 veces en 1.225 tirades d'un cilindru de doble cerocilindruCeroLa única casiella verde, que nun cubre denguna suerte senciella, docena nin columna; l'orixe de la ventaya de la casa. Tamién: cero únicu, 0.Lleer too →: 1 vez de cada 25, una ventaya del 44%, una apuesta de Kelly del 1,26%. Pero un cilindru de doble cero equilibráu tien 38 númberos, y el más frecuente d'ellos llega a 49 o más en 1.225 tirades más o menos una vez de cada nueve. El númberu más frecuente de cualquier rexistru ye tamién el que más favoreció la suerte, asina qu'inclusive una casiella de verdá sesgada paez meyor nel rexistru de lo que ye: la maldición del ganador. Si esa casiella ye en realidá equilibrada, l'apuesta de Kelly ye simplemente una apuesta que pierde de media un 5,26%. Les rempuestes habituales son apostar una fracción de Kelly y siguir contando hasta que la ventaya resista un rexistru nuevu (consulta Cómo detectar el sesgu del cilindru de la ruleta).
Persones con ventaya
Conocer la ventaya nun ye lo mesmo qu'usala bien. Haghani y Dewey (2016) dieron a 61 persones $25 a caúna pa apostar mediu hora a una moneda que, según-yos dixeron, salía cara el 60% de les veces, coles ganancies llendaes a $250 (los xugadores namái supieron del llímite al algamalu). Kelly diz apostar el 20% del bankroll a cara cada vez, y los autores calculen qu'apuestes constantes del 10–20% algamaríen el llímite alredor del 95% de les veces. Namái el 21% de los xugadores lu algamó. El 28% arruinóse, 18 de los 61 apostáronlo too a un solu llanzamientu, alredor d'un terciu acabó per debaxo de los $25 colos que empezó, y el pagudineruPaguLo que devuelve una apuesta ganadora, espresáu como «X a 1» amás de l'apuesta que se devuelve.Lleer too → mediu foi de $91. Namái cinco de los 61 oyeren falar del criteriu de Kelly. Con ventaya, el tamañu de les apuestes decide si la caltienes; ensin ella, como en un cilindru equilibráu, dengún tamañu ayuda.
Qué usar en so llugar
Ensin ventaya, el dimensionamientu ye una cuestión de presupuestu, non de crecimientu: apuesta = lo que tas dispuestu a gastar per tirada, calculao a partir del presupuestu per hora y del ritmu de la mesa (páxina de xestión del bankroll). L'aportación de Kelly al xugador corriente ye la claridá de la so rempuesta: cero. Too lo qu'apuestes per enriba de cero ye el preciu de xugar, escoyíu por ti, non optimizáu por denguna fórmula.
Una nota sobre el Kelly fraccionáu y la «xestión del dineru»
Los sistemes que se vienden como «Kelly pa la ruleta» y que recomienden un porcentaxe fixu del bankroll per apuesta son apuesta planaestratexaApuesta planaApostar la mesma cantidá en cada tirada. La referencia cola que se compara cualquier progresión.Lleer too → con un importe decreciente. Pierden el 2,70% del volume apostáudineruVolume apostáuLa cantidá total apostada nuna sesión o nun periodu, contando les ganancies que se vuelven apostar. Tamién: handle, action.Lleer too → y, como l'importe mengua a midida que pierdes, faen que la ruina seya lenta, non improbable. Ye una manera razonable de facer que dure un presupuestu; nun ye Kelly, que diría que pares.
Fórmula
Entrugues
Namái con una ventaya midida que vien d'una ruleta sesgadallaboratoriuRuleta sesgadaUn cilindru con defeutos físicos que faen delles casielles más probables que 1/37. Ye raru y namás se deteuta con miles de tirades rexistraes.Lleer too → o d'un dispositivu de cronometraxe. Non en un cilindru equilibráu.
Porque la estimación de la ventaya tien error, y apostar de más cuesta más qu'apostar de menos. La metá de Kelly da tres cuartos del crecimientu con un cuartu de la varianzamatemátiquesVarianzaUna midida de cuánto s'esparden los resultaos alredor del valor esperáu. Alta nel plenu, baxa nes suertes sencielles.Lleer too →.
Non. Kelly optimiza el crecimientu cuando hai ventaya. La xestión del bankroll controla el gastu cuando nun la hai.
Matemátiques pa divertise
Próbalo tu primero. Cada solución ta escondida; ábrila cuando teas preparáu.
El preditor de Thorp y Shannon daba una ventaya d'alredor del 44%. Con un solu númberu predichu, Kelly diz que s'apueste el 1,26% del bankrolldineruBankrollLa cantidá total reservada pa xugar. La xestión del bankroll ye decidir qué parte d'ella arriesgar per apuesta y per sesión.Lleer too →. ¿Y si la mesma ventaya del 44% viniere con una apuesta repartida ente cinco númberos vecinos?
Amosar la solución
Rempuesta Entós Kelly diz el 7,1% del bankroll, y el bankroll crez cuasi seis vegaes más rápido: unes 1,25 millones de vegaes en 1.000 apuestes, frente a unes 11,5.
Un plenuapuestaPlenuUn solu númberu, paga 35:1.Lleer too → con una ventaya del 44% gana con una probabilidá de 0,04, porque 36 × 0,04 = 1,44. L'apuesta de Kelly ye la ventaya dividida pela proporción: 0,44/35 = 1,26%. El crecimientu típicu per apuesta ye 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, asina que 1.000 apuestes multipliquen el bankroll por alredor de e^2,44 ≈ 11,5.
Reparti una apuesta ente cinco númberos y l'apuesta gana con una probabilidá de 0,20 y paga 36/5 por 1, o seya 6,2 a 1: sigue siendo una ventaya del 44%, porque 0,2 × 7,2 = 1,44. L'apuesta de Kelly pasa a ser 0,44/6,2 = 7,10%, y el crecimientu per apuesta 0,01404, unes 5,75 vegaes más. En 1.000 apuestes eso ye e^14,04, alredor de 1,25 millones.
La ventaya ye la mesma; les oscilaciones son menores. Una apuesta que gana una vegada de cada cinco pue llevar una parte mayor del bankroll ensin arriesgar la ruina, y el crecimientu de Kelly premia eso. Thorp (1984) usa l'exemplu p'amosar por qué los xugadores de predicción apuesten a sectorescilindruSectorUn arcu continuu de casielles nel cilindru, a diferencia d'un grupu nel tapete.Lleer too →. Na práutica, cinco vecinosapuestaVecinosUn númberu y les dos casielles de cada llau d'él nel cilindru, cinco fiches a plenu.Lleer too → tienen una ventaya un pocu menor que el meyor númberu solu (mira Xuegu con ventaya).
Un xugador atopó dos casiellesmaterialCasiellaÚn de los 37 compartimentos numeraos del rotor. Tamién: ranura, buecu.Lleer too → vecines que salen caúna 1 vegada de cada 25 en cuenta de 1 de cada 37. ¿Tendría d'apostar al caballuapuestaCaballuDos númberos vecinos, paga 17:1.Lleer too → ente elles a 17 a 1, o a cada númberu a plenu? ¿Cuánto diz Kelly, y qué rápido crez el bankroll en comparanza con una sola casiella d'eses?
Amosar la solución
Rempuesta Da igual: el 2,59% del bankroll al caballu, o el 1,29% a cada númberu. El bankroll típicu crez unes 155 vegaes en 1.000 tirades, frente a 11,5 vegaes con una casiella.
El caballu gana con una probabilidámatemátiquesProbabilidáLa posibilidá d'un resultáu, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un númberu: 1/37 = 2,70%.Lleer too → de 2/25 = 0,08 y paga 17 a 1, asina que devuelve 18 × 0,08 = 1,44 per unidádineruUnidáL'apuesta base cola que trabaya un sistema o un xugador. Les progresiones descríbense en unidaes pa que valgan en cualquier mesa.Lleer too → apostada: una ventaya del 44%, la mesma qu'una casiella sesgada. L'apuesta de Kelly ye la ventaya dividida pela proporción: 0,44/17 = 2,59%.
Dos apuestes a plenu del 1,29% caúna dan exactamente los mesmos resultaos. Cuando sal cualquiera de los dos númberos, una fichadineruFichaUna pieza que representa una cantidá fixa y que se pon nel tapete pa facer una apuesta. Tamién: check.Lleer too → gana 35 a 1 y la otra piérdese, un netu de 34 × 1,29% = 44% del bankroll, igual que paga el caballu; cuando nun sal dengún, piérdense les dos.
El crecimientu per tirada ye 0,00505, frente a 0,00244 con una casiella, asina que en 1.000 tirades el bankroll típicu crez e^5,046 ≈ 155 vegaes en cuenta de e^2,44 ≈ 11,5 vegaes. Dos bonos númberos valen muncho más que el doble d'ún, y por eso los xugadores de sesgu apuesten a grupos de númberos. Thorp (1984) fai la mesma comparanza.
Nota d'humor
L'apuesta de ruleta óptima pal crecimientu ye un númberu que toos conocen yá.
Fontes
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”