Converxencia a llargu plazu: la llei de los grandes númberos na ruleta
Cómo s'asitia la media alredor del −2,70%, y por qué eso tarda más de lo que suxer la intuición.
La perda media per tirada converxe a −1/37 a midida que s'axunten tirades, con una dispersión que mengua como 1/√N. Dempués de 1.000 tirades al coloráu, la media suel tar a menos de ±3% del so valor esperáu.
Llei de los grandes númberos
La media acumulada d'apuestes independientes tiende al valor esperáumatemátiquesValor esperáuEl resultáu mediu per apuesta a llargu plazu. −1/37 de l'apuesta en toa apuesta europea estándar.Lleer too →. Tres N tirades de suerte senciella con una unidádineruUnidáL'apuesta base cola que trabaya un sistema o un xugador. Les progresiones descríbense en unidaes pa que valgan en cualquier mesa.Lleer too →, el resultáu mediu per tirada tien una esperanza de −1/37 y una desviación típicamatemátiquesDesviación típicaRaíz cuadrada de la varianza; la distancia típica d'un resultáu al valor esperáu.Lleer too → de 1/√N. Con N = 100, esa dispersión ye del 10% de l'apuesta, cuasi cuatro veces la señal del 2,7%. Con N = 1.000 ye del 3,2%, más o menos igual que la señal. Con N = 10.000 ye del 1%, y la ventaya vese con claridá. La ventaya ye invisible en una sesión ya inconfundible en un añu.
Qué converxe y qué non
La media per tirada converxe. El total non: allóñase cada vez más del cero a midida que crez N, alredor del 2,7% de N n'esperanza, con una dispersión de √N alredor d'esi valor. Espérase qu'un xugador que xugó 10.000 tirades a $10 tea $2.700 per debaxo, con un marxe d'unos $1.000. La proporción acumulada de coloraosapuestaColoráuSuerte senciella a los 18 númberos coloraos. En francés: rouge.Lleer too → hai tiempu que s'asitió cerca del 48,65%; el saldu acumuláu nun s'asitió en dengún sitiu.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Por qué s'engaña la intuición
La xente espera que la ventaya se note aína porque el 2,70% paez muncho, y espera que les raches llargues «se compensen» porque la llei de los grandes númberosmatemátiquesLlei de los grandes númberosLa media de resultaos independientes converxe col valor esperáu a midida que crez el númberu de pruebes.Lleer too → diz que les medies converxen. Les dos intuiciones xulguen mal la escala: la ventaya ye pequeña frente a la varianzamatemátiquesVarianzaUna midida de cuánto s'esparden los resultaos alredor del valor esperáu. Alta nel plenu, baxa nes suertes sencielles.Lleer too → d'una sola tirada (σ = 1 unidá frente a VE = 0,027), asina que fai falta (1/0,027)² ≈ 1.400 tirades pa que se vea a una sigma. Y la converxencia de la media nun fai nada por devolver el total: namái dilúi les fluctuaciones pasaes.
Converxencia n'otres apuestes
Pa los plenosapuestaPlenuUn solu númberu, paga 35:1.Lleer too →, σ = 5,84, asina que el mesmu cálculu da (5,84/0,027)² ≈ 47.000 tirades pa que la ventaya algame una sigma. Un xugador de plenos pue xugar años ensin que la ventaya se estrema de la suerte nos sos propios rexistros, mientres paga exactamente el mesmu 2,70% que el xugador al coloráu, que la ve en cuestión de selmanes.
Consecuencia pa probar sistemes
Quien afirme qu'un sistema funciona tendría de poder demostralo en 10.000 tirades o más, con una media positiva documentada. A les 1.000 tirades, una media positiva en suerte senciella ye un socesu d'ún de cada cinco so la hipótesis nula; a les 100 tirades ye cuasi tirar una moneda al aire. Los simuladores d'esti sitiu executen 2.000 sesiones de la duración qu'escueyas en un segundu, que ye más evidencia que cualquier testimoniu.
Fórmula
Entrugues
La probabilidámatemátiquesProbabilidáLa posibilidá d'un resultáu, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un númberu: 1/37 = 2,70%.Lleer too → de volver tar per delantre dalguna vez cai escontra cero a midida que xuegues. El total baxa ensin llímite.
Non. Quier dicir que les fluctuaciones pasaes pasen a ser una fracción menor d'una muestra mayor.
En suerte senciella, unes 10.000 enantes de que la ventaya se vea con claridá. En plenos, unes 50.000.
Matemátiques pa divertise
Próbalo tu primero. Cada solución ta escondida; ábrila cuando teas preparáu.
Dos collacios xueguen 20 rondes d'un xuegu xustumatemátiquesXuegu xustuUn xuegu nel que dengún de los dos llaos tien ventaya: toa apuesta tien un valor esperáu de cero.Lleer too →, tirar una moneda o coloráuapuestaColoráuSuerte senciella a los 18 númberos coloraos. En francés: rouge.Lleer too → escontra prietuapuestaPrietuSuerte senciella a los 18 númberos prietos. En francés: noir.Lleer too → devolviendo los ceroscilindruCeroLa única casiella verde, que nun cubre denguna suerte senciella, docena nin columna; l'orixe de la ventaya de la casa. Tamién: cero únicu, 0.Lleer too →, y lleven el marcador al día. Cunta les rondes nes que caún va per delantre (un empate cunta pa quien diba delantre xusto enantes). ¿Qué ye más probable: que el lideratu se reparta 10 rondes a 10, o qu'un collaciu vaya delantre les 20?
Amosar la solución
Rempuesta Qu'un collaciu vaya delantre les 20 rondes ye muncho más probable: 35,2%, cuntando cualquiera de los dos, frente al 6,1% d'un repartu igual de 10 a 10.
La probabilidá de qu'un marcador xustu tea empatáu dempués de 2k rondes ye u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 dempués de 10 rondes y 0,176 dempués de 20. Un resultáu clásicu, la llei del arcosenu, diz que la probabilidá de qu'un collaciu concretu vaya delantre exactamente 2k de 2n rondes ye u(2k) × u(2n − 2k).
Dir delantre les 20: u(20) × u(0) = 0,176 pa cada collaciu, 35,2% pa cualquiera de los dos. Un repartu igual: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, el repartu menos probable de toos.
Asina que en un xuegu xustu el lideratu cuasi nunca camuda de manes. Un xugador que foi ganando toa la nueche, o perdiendo toa la nueche, nun vio nada raro, y eso nun diz nada del cilindru nin de l'habilidá. Epstein (2013) da la mesma llei pa xuegos más llargos: la mitá de les vegaes el llau con más suerte va delantre más del 85% del xuegu.
Nota d'humor
La media converxe. El total, simplemente, vase.
Fontes
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.