Prueba de chi-cuadráu
La prueba avezada pa saber si «estos 37 recuentos son lo que produciría un cilindru equilibráu».
χ² = Σ (observáu − esperáu)² / esperáu sobre les 37 casielles. Compárase cola distribución chi-cuadráu de 36 graos de llibertá pa llograr un valor p.
Cómo se calcula
El recuentu esperáu per casiellamaterialCasiellaÚn de los 37 compartimentos numeraos del rotor. Tamién: ranura, buecu.Lleer too → ye n/37. Pa cada casiella, eleva al cuadráu la diferencia ente lo observao y lo esperao y dividila ente lo esperao; suma los 37 términos. Un cilindru equilibráu da valores d'alredor de 36 de media (los graos de llibertállaboratoriuGraos de llibertáEl númberu de valores independientes d'un estadísticu. Nuna prueba de chi-cuadráu con 37 casielles son 36, porque los recuentos tienen que sumar el total.Lleer too →), con una desviación típicamatemátiquesDesviación típicaRaíz cuadrada de la varianza; la distancia típica d'un resultáu al valor esperáu.Lleer too → d'aproximadamente 8,5. Per enriba de 51,0 ye significativu al nivel del 5%; per enriba de 58,6, al 1%. L'Analizador de sesgu del cilindru calcula l'estadísticu y el valor pllaboratoriuValor pLa probabilidá de ver una desviación polo menos tan grande como la observada si el cilindru fore equilibráu.Lleer too → exactu a partir de la función gamma incompleta regularizada.
Un exemplu resueltu
1.000 tirades. Trenta y seis casielles tienen ente 20 y 34 aciertos; la casiella 8 tien 41. Lo esperao ye 27,03. Namás el términu de la casiella 8 ye (41 − 27,03)²/27,03 = 7,2. Supón que los otros 36 términos sumen 38 (lo típico). χ² = 45,2 con 36 gl, p ≈ 0,14. Nun ye significativu: un cilindru equilibráu fai esto una vegada de cada siete. La casiella 8 ye una candidata, non un afayu, y la rempuesta son otres mil tirades.
Supuestos
Tirades independientesmatemátiquesTirades independientesCada tirada tien les mesmes probabilidaes, seya cual seya l'historial. La base de tolos cálculos d'esti sitiu.Lleer too → y recuentos esperaos de polo menos 5 per casiella, lo que quier dicir n ≥ 185 pa que la prueba seya válida y munches más pa que seya útil. Axuntar tirades de dellos cilindros viola el primer supuestu n'espíritu (ta probándose una mecedura, non un cilindru). Un efectu de firma del crupier violaríalu de fechu ya inflaría χ² ensin que denguna casiella tuviere favorecida físicamente.
Pearson y Montecarlo
Karl Pearson espublizó la prueba en 1900, y ún de los sos primeros exemplos resueltos foron 26.306 tirades rexistraes de la ruleta de Montecarlo, que-y paecieron enforma pocu uniformes pa debese al azar; declaró que «la ruleta de Montecarlo… nun ye un xuegu d'azar». Autores posteriores concluyeron que los periodistes que rexistraron les tirades pa un periódicu inventaren munches d'elles, lo que ye una lleición en sí mesma sobre la procedencia de los datos.
Pearson espubliza la prueba de bondá d'axuste chi-cuadráu, con tirades de Montecarlo como exemplu.
Ponse en dulda los datos de les tirades; los rexistradores paecen inventar series.
Fisher formaliza los graos de llibertá; imponse la convención del 5%.
Los estadísticos usen tirades de ruleta como datos de manual pa pruebes d'uniformidá.
La familia García-Pelayo aplica el métodu con datos reales rexistraos y gana en Madrid.
Los casinos executen la mesma prueba nos sos propios cilindros como caltenimientu rutinariu.
Una prueba real: cilindros automáticos en Las Vegas
Los xugadores davezu sospechen qu'un cilindru automáticu aparta la bolamaterialBolaLa bola pequeña que se llanza pela pista en sentíu contrariu al rotor. Les boles modernes son d'ivorina o de teflón, de 18–21 mm.Lleer too → de les apuestes grandes. Un análisis de 2017 punxo a prueba esa sospecha nos cilindros de doble cerocilindruCeroLa única casiella verde, que nun cubre denguna suerte senciella, docena nin columna; l'orixe de la ventaya de la casa. Tamién: cero únicu, 0.Lleer too → ensin crupier d'Interblock en Las Vegas, apostando a un arcu de cinco númberos vecinos, el tipu d'apuesta que fai quien cronometra un cilindru. En 299 tirades l'arcu ganó 29 vegaes frente a 39,3 esperaes, una diferencia qu'un cilindru equilibráu produz alredor del 4% de les vegaes. El chi-cuadráu de les 38 casielles foi 45,29 con 37 graos de llibertá: p = 16,5%. Una segunda muestra de 1.204 tirades en tres cilindros dio χ² = 34,79, p = 57%, y dengún arcu de dengún tamañu de los probaos foi significativu. Dambes muestres xuntes, 1.503 tirades, dieron χ² = 41,75, p = 27%. El veredictu foi que nun había pruebes de direicionamientu. La primera muestra sola paecía sospechosa; la segunda foi la que lo resolvió.
Más allá del chi-cuadráu
Pa una única casiella sospechosa, una prueba binomial ye más potente. Pa un arcu sospechosu, la prueba z per sectorcilindruSectorUn arcu continuu de casielles nel cilindru, a diferencia d'un grupu nel tapete.Lleer too → de la páxina d'análisis de sectores. El chi-cuadráu ye la prueba global: diz que daqué nun encaxa ensin dicir qué. Úsalu primero y dempués mira.
Fórmula
Entrugues
Los 37 recuentos tienen de sumar n, asina que namás 36 puen variar llibremente.
Un cilindru con una casiella a 1/25 en 10.000 tirades daría namás por esa casiella un términu d'alredor de 60; χ² alredor de 100, con un valor p práuticamente cero.
Téunicamente sí, con 5,4 esperaes per casiella. Nun va detectar nada que nun seya un cilindru con una casiella sellada.
Nota d'humor
Suma les sorpreses al cuadráu. Compárales con 51,0.
Fontes
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”