Problema: el cilindru de los cumpleaños
¿Cuántes tirades faen falta pa que se repita dalgún númberu? Munches menos de les que la mayoría s'imaxina.
El problema del cumpleaños en un cilindru de 37 casiellesmaterialCasiellaÚn de los 37 compartimentos numeraos del rotor. Tamién: ranura, buecu.Lleer too →: con namái 8 tirades hai más probabilidá que non de que dalgún númberu yá saliere dos veces. Los xugadores lleen les repeticiones como patrones; son el comportamientu esperáu d'un cilindru equilibráu.
El problema
Fai xirar un cilindru européu equilibráu. ¿Cuántes tirades faen falta pa que la probabilidámatemátiquesProbabilidáLa posibilidá d'un resultáu, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un númberu: 1/37 = 2,70%.Lleer too → de que polo menos dos tirades amosaren el mesmu númberu pase de la metá? La mayoría de los xugadores calcula daqué como 18 o 19, la metá de 37. La rempuesta ye 8.
La solución
Calcula la probabilidá de que nun haya repetición y réstala d'ún. Tres k tirades, p(toes distintes) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Pa k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, asina que p(dalguna repetición) ≈ 0,56. Pa k = 14 ye 0,93; pa k = 20 ye 0,996. La intuición falla porque el númberu de pareyes de tirades crez como k², y cualquier pareya pue coincidir.
Por qué importa na mesa
Un panel de resultaos colos últimos 20 númberos cuasi siempres va amosar polo menos una repetición, davezu dos o trés. Los xugadores ven «el 17 salió dos veces en diez tirades» y conclúin que el 17 ta caliente; l'aritmética del cumpleaños diz qu'una repetición en diez tirades asocede el 74% de les veces y que el númberu repetíu ye al debalu. El patrón ye real; el so significáu, non.
El problema de siguimientu
¿Cuántes tirades faen falta pa qu'un númberu concretu, por exemplu el 17, saliere dos veces? Ye una entruga distinta con una rempuesta muncho mayor: la espera esperada ye de 74 tirades, y la probabilidá de dos 17 en 20 tirades ye d'alredor del 10%. La diferencia ente «dalgún númberu se repite» (8 tirades) y «esti númberu se repite» (74 tirades) ye toa la diferencia ente un patrón que notes dempués y una predicción que faes d'antemano.
Pruébalo
Xuega diez tirades nel Xuegu de demostración y mira l'historial. Normalmente va haber una repetición. Fáilo otra vez. El númberu repetíu va ser distintu. Fáilo diez veces y vas ver el problema del cumpleañosmatemátiquesProblema del cumpleañosCuántes persones fain falta pa que probablemente dos cumplan años el mesmu día, o cuántes tirades pa que probablemente se repita un númberu. Nun cilindru de 37 casielles, 8 tirades abasten pa una probabilidá mayor que la metá.Lleer too →; fáilo mil veces (los simuladores puen) y vas tenelu midíu.
Fórmula
Entrugues
Exactamente, con 37 casielles en llugar de 365 díes. 23 persones dan el 50% pa los cumpleaños; 8 tirades dan el 56% pal cilindru.
El 50% tres unes 19 tirades. Sigue siendo daqué rutinariu.
Non. Miles de tirades d'un mesmu cilindru sí podríen; una repetición, enxamás.
Matemátiques pa divertise
Próbalo tu primero. Cada solución ta escondida; ábrila cuando teas preparáu.
Un panel de resultaos al llau d'un cilindru americanu amuesa les últimes 16 tirades. ¿Qué probabilidá hai de que dengún númberu apaeza dos veces?
Amosar la solución
Rempuesta Más o menos un 2,5%: unos 39 paneles de cada 40 amuesen polo menos una repetición.
Vete tirada a tirada. La primera pue ser cualquiera. La segunda tien d'evitala: 37 posibilidaes de 38. La tercera tien d'evitar les dos: 36 de 38. La decimosesta tien d'evitar quince númberos: 23 de 38.
Multiplica: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
El panel ensin repeticiones ye el raru. Un panel con una repetición nun diz nada del cilindru.
En diez tirades d'un cilindru européu, ¿qué probabilidá hai de que el 17 salga xusto cinco veces? ¿Y de que dalgún númberu, el que seya, salga cinco veces o más? ¿Y de que dalgún númberu salga polo menos tres veces en cuatro tirades?
Amosar la solución
Rempuesta El 17 xusto cinco veces: 1 de cada 315.576. Dalgún númberu cinco veces o más: alredor d'1 de cada 8.333. Dalgún númberu tres veces o más en cuatro tirades: 1 de cada 349.
El 17 cinco veces: escueyi cuáles cinco de les diez tirades, 252 posibilidaes, caúna con probabilidá (1/37)⁵ × (36/37)⁵. En conxuntu, 1 de cada 315.576.
Dalgún númberu: caún de los 37 númberos tien una probabilidá d'1 de cada 308.325 de cinco o más aciertos, lo que da 37 de cada 308.325, o 1 de cada 8.333. El casu raru de dos númberos con cinco aciertos caún cuéntase dos veces, pero quitalu nun camuda nada con esta precisión.
Tres veces en cuatro tirades: pa un númberu, 4 × 36 + 1 = 145 de los 37⁴ resultaos posibles; pa cualquiera de los 37 númberos, 145/37³ = 1 de cada 349.
Pa un cilindru de doble cerocilindruCeroLa única casiella verde, que nun cubre denguna suerte senciella, docena nin columna; l'orixe de la ventaya de la casa. Tamién: cero únicu, 0.Lleer too →, les cifres correspondientes son 1 de cada 359.275, 1 de cada 9.243 y 1 de cada 368. La diferencia ente «17» y «dalgún númberu» ye otra vegada el problema del cumpleañosmatemátiquesProblema del cumpleañosCuántes persones fain falta pa que probablemente dos cumplan años el mesmu día, o cuántes tirades pa que probablemente se repita un númberu. Nun cilindru de 37 casielles, 8 tirades abasten pa una probabilidá mayor que la metá.Lleer too →: hai 37 maneres de sorprendese.
Nota d'humor
Daqué se repite aína. Esi daqué ye al debalu.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, entrugues sobre la ruleta.