Riesgu de ruina
La probabilidá de perder tol bankroll enantes d'algamar un oxetivu.
Nes suertes sencielles, el riesgu de ruina sigue la fórmula de la ruina del xugador. Con un bankroll de $500, apuestes de $10 y un oxetivu de $600, algames l'oxetivu alredor del 57% de les veces y quedes ensin nada el restu.
La entruga
Tienes a unidaesdineruUnidáL'apuesta base cola que trabaya un sistema o un xugador. Les progresiones descríbense en unidaes pa que valgan en cualquier mesa.Lleer too → de bankrolldineruBankrollLa cantidá total reservada pa xugar. La xestión del bankroll ye decidir qué parte d'ella arriesgar per apuesta y per sesión.Lleer too → y quies llegar a a + b unidaes, apostando una unidá cada vez a una suerte senciellaapuestaSuerte senciellaColoráu/prietu, impar/par, pasa/falta. 18 númberos, paga 1:1.Lleer too → con probabilidámatemátiquesProbabilidáLa posibilidá d'un resultáu, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un númberu: 1/37 = 2,70%.Lleer too → de ganar p = 18/37 y probabilidá de perder q = 19/37. ¿Cuála ye la probabilidá d'algamar l'oxetivu enantes de llegar a cero? La rempuesta sacáronla Pascal, Fermat y Huygens na década de 1650 y ye ún de los resultaos más antiguos de la probabilidá.
La fórmula de la ruina del xugador
P(algamar l'oxetivu) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). El riesgu de ruinamatemátiquesRiesgu de ruinaLa probabilidá de perder tol bankroll enantes de llegar a un oxetivu o a un númberu de tirades.Lleer too → ye ún menos eso. Con q/p = 19/18 ≈ 1,0556, el cociente crez esponencialmente col númberu d'unidaes, asina que la fórmula castiga duro les unidaes pequeñes: cuantes más apuestes faen falta pa llegar al oxetivu, más veces se paga pel camín el peaxe del 2,70%.
Cómo lleelo
Les unidaes pequeñes fain daño. Intentar doblar $500 con apuestes de $10 sal bien el 6% de les veces; con una sola apuesta de $500 sal bien el 48,6% de les veces. El xuegu atrevíu, con menos apuestes y mayores, maximiza la probabilidá d'algamar un oxetivu en un xuegu d'esperanza negativa, porque minimiza el númberu de veces que s'aplica la ventaya. Tamién maximiza la varianzamatemátiquesVarianzaUna midida de cuánto s'esparden los resultaos alredor del valor esperáu. Alta nel plenu, baxa nes suertes sencielles.Lleer too → de lo que te pasa y acaba la nueche aína. El teorema llámase «el xuegu atrevíu ye óptimu» y demostráronlu Dubins y Savage en 1965.
Ónde entamó el problema
La entruga ye más antigua que la ruleta. En 1656 Pascal propúnxo-y a Fermat un rompecabeces: dos xugadores tiren tres dados, y caún entama con 12 fiches; una tirada d'11 mueve una ficha nun sentíu, una de 14 nel otru. Los dos resolviéronlu, y Huygens, que lo supo por una carta del matemáticu Pierre de Carcavi, publicólu en 1657 como el quintu problema del primer llibru sobre probabilidá, cola rempuesta y ensin demostración. L'once pue salir de 27 maneres y el catorce namái de 15, asina que cada ficha muévese a favor del primer xugador 9 veces de cada 14, y la fórmula d'enriba, con 12 fiches caún, da-y unes 1.157 veces más probabilidaes de ganalo too que de perdelo too. Una ventaya del 2,70% ye muncho menor, pero la mesma fórmula amuesa lo que fai a lo llargo de munches apuestes.
Una apuesta atrevida de verdá
N'abril de 2004 Ashley Revell, un inglés mozu, vendió cuasi too lo que tenía, ropa incluida, y llevó $135.300 al Plaza de Las Vegas. Tres de delles apuestes pequeñes punxo la cantidá entera al coloráuapuestaColoráuSuerte senciella a los 18 númberos coloraos. En francés: rouge.Lleer too →, una sola vez. La bolamaterialBolaLa bola pequeña que se llanza pela pista en sentíu contrariu al rotor. Les boles modernes son d'ivorina o de teflón, de 18–21 mm.Lleer too → cayó nel 7 coloráu y salió con $270.600. En un cilindru de doble cerocilindruCeroLa única casiella verde, que nun cubre denguna suerte senciella, docena nin columna; l'orixe de la ventaya de la casa. Tamién: cero únicu, 0.Lleer too →, esa única tirada yera una probabilidá del 47,37% y costó-y $7.121 de media, la ventaya del 5,26% sobre una sola apuesta. Repartíu n'apuestes de $10, el mesmu oxetivu diba ser cuasi imposible d'algamar. El xuegu atrevíu nun fai bona l'apuesta; fáila lo más curtia posible.
Riesgu de ruina ensin oxetivu
Si xuegues hasta quedar ensin nada o pares tres de N tirades, la entruga pasa a ser «¿cuála ye la probabilidá de que el mio bankroll llegue a cero en N tirades?». Nun hai una forma zarrada pa un N xeneral, pero los simuladores d'esti sitiu calcúlenla: un bankroll de $500 con $10 al coloráu cuasi nunca nun s'arruina en 100 tirades (menos del 1%), arruínase alredor del 9% de les veces en 500 tirades y alredor del 95% de les veces en 5.000. Ensin una regla de parada, la probabilidá tiende al 100%, que ye la versión a llargu plazu de la ventaya de la casamatemátiquesVentaya de la casaLa parte de cada apuesta que se queda el casinu de media: un 2,70% na ruleta europea.Lleer too →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediana −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Converxencia a llargu plazu: la llei de los grandes númberos na ruleta
Cuánto aguantes y cuánto llegues a dir per delantre
Otros dos resultaos clásicos respuenden a entrugues que los xugadores sí se faen. Ensin oxetivu, les apuestes planes a suertes sencielles duren de media 37 tirades per cada unidá de bankroll en un cilindru européu y 19 en un americanu, porque cada tirada llévase de media 1/37 d'unidá (1/19 en un cilindru americanu): 100 unidaes duren de media 3.700 tirades, anque la metá d'eses sesiones acaba en 3.134 tirades o menos (mira Duración y costu d'una sesión). Y por grande que sea el bankroll, la probabilidá en un cilindru européu de llegar dalguna vez a dir k unidaes per delantre ye (18/19)ᵏ. Ye un 95% pa una unidá y un 58% pa diez, pero dengún bankroll, por grande que sea, da siquiera una probabilidá a la metá de llegar dalguna vez a dir 13 unidaes per delantre; en un cilindru americanu la probabilidá ye (9/10)ᵏ y baxa de la metá a partir de 7 unidaes.
Duración y costu d'una sesiónRuleta americana: cilindru y regles
Un bankroll pa tener una probabilidá de la metá
Da-y la vuelta a la entruga: ¿cuánto tienes de llevar pa tener polo menos la metá de probabilidá de ganar una cantidá dada enantes de perdelo too? Pa una ganancia pequeña, non muncho. Pa una mayor, el bankroll necesariu xube aína, y a partir de ciertu puntu dengún bankroll abasta, porque inda ún infinitu da menos de la metá de probabilidá de llegar dalguna vez a dir tan per delantre. Taylor (2021) dizlo d'otra manera: en un cilindru americanu, pa tener la metá de probabilidá de llegar a 100 unidaes hai qu'entamar con 94, arriesgando 94 pa ganar 6. En un cilindru européu diben facer falta 88.
La lleición práctica
Decide qué intentes facer. Si l'oxetivu ye una ganancia concreta, apuesta fuerte y poques veces. Si l'oxetivu ye una nueche llarga, apuesta poco y aceuta que la ventaya se va llevar el so 2,70% d'un volume apostáudineruVolume apostáuLa cantidá total apostada nuna sesión o nun periodu, contando les ganancies que se vuelven apostar. Tamién: handle, action.Lleer too → grande. Si l'oxetivu son les dos coses, daqué tien que ceder, y de vezu ye l'oxetivu.
Fórmula
Entrugues
La martingalaestratexaMartingalaProgresión que dobla l'apuesta tres de cada perda. Mira la sección Estratexa pa ver lo que fai y lo que nun fai.Lleer too → amenórgalu en sesiones curties y aumentalu munchísimo nes llargues. L'apuesta planaestratexaApuesta planaApostar la mesma cantidá en cada tirada. La referencia cola que se compara cualquier progresión.Lleer too → con una unidá mayor ye la forma honrada d'amenorgalu.
La fórmula d'enriba ye pa suertes sencielles. Nes apuestes de varianza alta, la ruina ye más probable con apuestes pequeñes y l'oxetivu algámase a saltos; usa la calculadora.
Cada pasu hacia l'oxetivu ye un pocoñín menos probable que cada pasu hacia la ruina; el cociente acumúlase col númberu de pasos.
Matemátiques pa divertise
Próbalo tu primero. Cada solución ta escondida; ábrila cuando teas preparáu.
Tienes $100 y quies llegar a $1.000 apostando namás al coloráuapuestaColoráuSuerte senciella a los 18 númberos coloraos. En francés: rouge.Lleer too →. Plan ún: apostar $1 cada vegada. Plan dos: apostalo too hasta pasar de $500, y dempués namás lo xusto pa llegar a $1.000. ¿Qué plan ye meyor, y por cuánto?
Amosar la solución
Rempuesta El plan dos, con muncho. Llega a $1.000 alredor del 9,0% de les vegaes, cerca del 10% xustu. El plan ún sal bien unes 7 vegaes de cada 10²².
En un xuegu xustumatemátiquesXuegu xustuUn xuegu nel que dengún de los dos llaos tien ventaya: toa apuesta tien un valor esperáu de cero.Lleer too → llegaríes a $1.000 dende $100 una vegada de cada diez, fixeres lo que fixeres, porque el valor mediu del to dineru sigue en $100.
La ventaya llévase el 2,70% de cada apuesta, asina que cuanto menos apuestes en total, más cerca quedes de la una de cada diez. El plan dos decide la cosa en poques apuestes: $100 faise $200, $400, $800, y entós abasten $200. Sal bien alredor del 9,0% de les vegaes. El plan ún necesita miles d'apuestes enantes de que acabe el camín, y la ventaya, pequeña en caúna, súmase hasta una ruina cuasi segura.
Esti ye el resultáu de Dubins–Savage na so forma más cenciella (Epstein, 2013): en un xuegu que favorez a la casa, apuesta tanto como te faiga falta, el menor númberu de vegaes posible.
Tienes $500 y quies llegar a $1.000, y pares tan aína como los tengas. Escueyes un tipu d'apuesta y repítesla hasta que gane una vegada o s'acabe el dineru. ¿Qué tipu da la meyor probabilidá?
Amosar la solución
Rempuesta Una apuesta de $500 al coloráu: 48,6%. Cualquier plan que reparta el dineru n'apuestes más pequeñes fai peor.
Escueyi cada apuesta de mou qu'abaste con ganar una vegada: $30 a un plenuapuestaPlenuUn solu númberu, paga 35:1.Lleer too → ganen $1.050, $60 a un caballuapuestaCaballuDos númberos vecinos, paga 17:1.Lleer too → ganen $1.020, y asina. Dempués cunta la probabilidá de que polo menos una apuesta gane enantes de que s'acabe el dineru. Dieciséis plenos de $30 fallen toos con una probabilidá de (36/37)¹⁶ = 64,5%, asina que lleguen a $1.000 el 35,5% de les vegaes.
La tabla amuesa cada apuesta. El coloráu ye lo meyor porque llega en una sola apuesta, asina que la ventaya págase una vegada, sobre $500. La seisenaapuestaSeisenaSeis númberos en dos files vecines, paga 5:1. En francés: sixain.Lleer too → queda segunda porque namás necesita tres. Una sola apuesta a una docenaapuestaDocena1–12, 13–24 o 25–36, paga 2:1.Lleer too → ye lo peor, una probabilidá de 12/37; inclusive xugada en unidaesdineruUnidáL'apuesta base cola que trabaya un sistema o un xugador. Les progresiones descríbense en unidaes pa que valgan en cualquier mesa.Lleer too → de $250 hasta tener $1.000 o más, la docena llega namás el 46,4% de les vegaes.
Bollman (2024) fai la mesma tabla pa un cilindru americanu. La so fila de la docena tien un error: tendría de dicir 12/38 = 31,6%.
apuestaimporte × númberu d'apuestesprobabilidá de llegar a $1.000Plenu$30 × 1635,5%Caballu$60 × 835,9%Transversal$90 × 534,5%Cuadru$125 × 436,7%Seisena$166, $166, $16841,2%Docena$500 × 132,4%Coloráu$500 × 148,6%Apuestes una unidá al coloráu, tirada tras tirada, con un bankrolldineruBankrollLa cantidá total reservada pa xugar. La xestión del bankroll ye decidir qué parte d'ella arriesgar per apuesta y per sesión.Lleer too → que nunca s'acaba. Dempués de la primer tirada vas una unidá per enriba o una per baxo. ¿Cuála ye la probabilidá de que dalguna vegada vuelvas quedar exactamente a la par?
Amosar la solución
Rempuesta 36 de cada 37, un 97,3%. En un cilindru americanu ye 36 de cada 38, un 94,7%.
Si la primer tirada gana (18 vegaes de cada 37), vas una unidá per enriba, y la ventaya tira p'abaxo de toa sesión ensin fin, asina que tarde o ceo vuelves pasar pela par: eso ye seguro. Si pierde (19 vegaes de cada 37), tienes de xubir una unidá, y la probabilidá de llegar dalguna vegada a una unidá per enriba ye 18/19 (mira la tabla d'enriba).
Xunto: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
En xeneral la probabilidá ye 1 menos la diferencia ente les probabilidaes de ganar y de perder una tirada: 1 − 1/37 en un cilindru européu, 1 − 2/38 nún americanu. En un xuegu ensin cerocilindruCeroLa única casiella verde, que nun cubre denguna suerte senciella, docena nin columna; l'orixe de la ventaya de la casa. Tamién: cero únicu, 0.Lleer too → la diferencia ye nula y la probabilidá ye 1: el marcador siempres vuelve a la par. Epstein (2013) da la regla xeneral.
El problema de Pascal de 1656: dos xugadores tiren tres daos, y caún entama con 12 fiches. Cada 11 pasa una ficha al primer xugador, cada 14 pasa una al segundu; les otres tirades nun cunten. ¿Qué probabilidá tien el primer xugador de ganar les 24? ¿Y si en cuenta d'eso apuestes 1 unidá al coloráu en cada tirada escontra un collaciu que fai de banca, con 12 unidaes caún, qué probabilidá tienes de ganar les 24?
Amosar la solución
Rempuesta El primer xugador gana unes 1.157 vegaes de cada 1.158. Tu, al coloráu, ganes les 24 unidaes namás alredor del 34% de les vegaes.
Tres daos dan 11 de 27 maneres y 14 de 15 maneres, asina que cada ficha que se mueve va pal primer xugador 27 vegaes de cada 42, 9 de cada 14. Si cada llau entama con 12, la probabilidá de llevalo too ye 1/(1 + r¹²), onde r ye el cociente ente la probabilidá del otru llau y la tuya.
Pal primer xugador r = 5/9, y (5/9)¹² ≈ 0,00086, asina que la probabilidá ye d'unos 0,99914: una proporción de 9¹² a 5¹², o 282.429.536.481 a 244.140.625, unos 1.157 a 1. Huygens imprentó exactamente eses cifres en 1657.
Al coloráu, r = 19/18 por cuenta del cero, y (19/18)¹² ≈ 1,913: la to probabilidá ye 1/2,913 ≈ 34,3%. Una moneda daría el 50%. La ventaya del 2,70% en cada apuesta, a lo llargo de les munches apuestes que fai falta, súmase hasta una diferencia de 16 puntos.
Nota d'humor
El xuegu atrevíu ye óptimu. Tamién s'acaba aína.
Fontes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”