Problema: el llímite de la mesa
Una martingala de $10 en una mesa de $500. ¿Con qué frecuencia se rompe, cuánto pierde cuando se rompe, y ayuda xubir el llímite?
Rómpenla seis perdes siguíes: 1,8% per ciclu, alredor del 60% de les sesiones de 100 tirades. La rotura cuesta $630. Xubir el llímite a $5.000 fai que la rotura seya más rara (0,25% per ciclu) y mayor ($5.110). La perda esperada per dólar apostáu ye del 2,70% con cualquier llímite.
El problema
Un xugador apuesta $10 al coloráuapuestaColoráuSuerte senciella a los 18 númberos coloraos. En francés: rouge.Lleer too → y dobla tres de cada perda, volviendo a empezar tres d'un aciertu. El máximu de la mesa ye $500. (a) ¿Cuántes perdes consecutives rompen la progresiónestratexaProgresiónCualquier regla que camuda l'apuesta según los resultaos anteriores. Les progresiones negatives xúbenla tres de les perdes; les positives, tres de los aciertos.Lleer too →? (b) ¿Cuála ye la probabilidámatemátiquesProbabilidáLa posibilidá d'un resultáu, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un númberu: 1/37 = 2,70%.Lleer too → per ciclu? (c) ¿Cuánto se pierde na rotura? (d) ¿Cómo camuden les rempuestes con un llímite de $5.000? (e) ¿Dalgún llímite fai rentable el sistema?
Soluciones (a)–(c)
Apuestes: 10, 20, 40, 80, 160, 320. La séptima sedría 640 > 500, asina que seis perdes rómpenla. (b) p(perda) = 19/37 nel coloráu; (19/37)⁶ = 0,0183, alredor del 1,8% per ciclu. Un ciclu dura de media unes dos tirades, asina qu'una sesión de 100 tirades tien más o menos 50 ciclos y p(polo menos una rotura) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, que son 63 unidaesdineruUnidáL'apuesta base cola que trabaya un sistema o un xugador. Les progresiones descríbense en unidaes pa que valgan en cualquier mesa.Lleer too → base, frente a los $10 que el ciclu intentaba ganar.
Solución (d)
Con $5.000: permítense apuestes hasta 2.560; la décima apuesta, 5.120, refúgase. Nueve perdes rómpenla: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per ciclu, alredor del 11% de les sesiones de 100 tirades. Perda na rotura: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. El xugador mercó una catástrofe más rara al preciu d'una mayor. Al llargu de munches sesiones, el costu esperáu de les rotures ye p × perda ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per ciclu col llímite de $500 y 0,0025 × 5.110 = $12,8 con $5.000; les dos cifres son asemeyaes pero non iguales, y caúna ye la perda esperadamatemátiquesPerda esperadaEl valor esperáu por la cantidá total apostada; la cantidá media que se pierde nuna sesión o nun periodu.Lleer too → del ciclu más los $10 que ganen los ciclos ganadores.
Solución (e)
Non. Perda esperada per ciclu = (apuesta total esperada nel ciclu) / 37, con cualquier llímite, porque cada apuesta ye −1/37 d'ella mesma. El llímite namái decide cómo se reparte la perda ente munches ganancies pequeñes y poques perdes grandes. Ensin llímite y con un bankrolldineruBankrollLa cantidá total reservada pa xugar. La xestión del bankroll ye decidir qué parte d'ella arriesgar per apuesta y per sesión.Lleer too → infinitu, la progresión «funcionaría», nel sentíu de que enxamás se rompería, y tamién apostaría una cantidá ensin llímite con una perda esperada del 2,70% d'esa cantidá ensin llímite. El llímite de mesamesaLlímite de mesaL'apuesta mínima y la máxima permitíes. La máxima ye lo que para les progresiones que doblen.Lleer too → nun ye lo qu'impide que la martingalaestratexaMartingalaProgresión que dobla l'apuesta tres de cada perda. Mira la sección Estratexa pa ver lo que fai y lo que nun fai.Lleer too → funcione. Impídelo l'aritmética.
Dos meses reales
L'exemplu de Thorp ye una mesa de $1 con un máximu de $1.000, onde un xugador espera ganar $30 pa la cena, dólar a dólar. Los importes 1, 2, 4… 512 dan pa diez apuestes, asina que diez perdes siguíes rompen la progresión: una vez de cada 785 ciclos en un cilindru européu (una de cada 613 n'ún americanu), con un costu de $1.023. Los trenta ciclos salen toos bien el 96,2% de les veces. El 3,8% restante pierde alredor de $1.000, y el resultáu mediu de la nueche ye −$9,17, que ye exactamente 1/37 de los $339 qu'apuesten de media los trenta ciclos. Una mesa de $5 con un máximu de $2.000 nun ye distinta: los importes hasta $1.280 dan pa nueve apuestes, y la rotura llega una vez de cada 403 ciclos en un cilindru européu (una de cada 323 n'ún americanu) y cuesta $2.555.
Un xugador ricu
Da-y a la progresión un bankroll abondosu en llugar d'un llímite baxu: 1.000 unidaes, una base d'una unidá y 1.000 tirades al coloráu, volviendo a empezar con una unidá cada vez que el siguiente doble pase de lo que queda. Simulamos un millón de nueches asina. En un cilindru européu, el 52% acaba en ganancies, el 21% piérdelo too y el resultáu mediu ye −124 unidaes. Inclusive en un xuegu ensin cerocilindruCeroLa única casiella verde, que nun cubre denguna suerte senciella, docena nin columna; l'orixe de la ventaya de la casa. Tamién: cero únicu, 0.Lleer too →, onde toa apuesta ye xusta, namái alredor del 60% acabaría en ganancies. La nueche habitual dexa una ganancia pequeña; la media págenla les nueches que terminen en cero.
La lleición
Los casinos fixen llímites pa acotar la so propia varianzamatemátiquesVarianzaUna midida de cuánto s'esparden los resultaos alredor del valor esperáu. Alta nel plenu, baxa nes suertes sencielles.Lleer too →, non pa ganar a los sistemes. Ganar a la martingala ye un efectu secundariu que-yos presta tener, y l'aritmética ganaríala de toes maneres. Un xugador que piensa que el llímite ye el problema alcontró el precipiciu y confundiólu cola pendiente.
Fórmula
Entrugues
Permíte-te sobrevivir hasta un llímite más altu, onde la rotura ye más rara y mayor. La perda esperada per dólar nun camuda.
Apuestes de 10, 30, 70, 150, 310: el llímite de $500 algámase tres de cinco perdes, y la rotura cuesta $570. El mesmu 2,70%.
Pa qu'un solu xugador nun pueda apostar más de lo que la reserva del casinu pue pagar ensin apurase. Ye xestión de la varianza.
Matemátiques pa divertise
Próbalo tu primero. Cada solución ta escondida; ábrila cuando teas preparáu.
Una martingalaestratexaMartingalaProgresión que dobla l'apuesta tres de cada perda. Mira la sección Estratexa pa ver lo que fai y lo que nun fai.Lleer too → entama con $100 al coloráuapuestaColoráuSuerte senciella a los 18 númberos coloraos. En francés: rouge.Lleer too → y permítese como muncho n apuestes per ciclu: dempués de n perdes siguíes, abandona y vuelve entamar. Escribi el resultáu mediu d'un ciclu como una fórmula en n, y calcúlalu pa 5, 6 y 7 apuestes en un cilindru européu.
Amosar la solución
Rempuesta La media ye 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 pa 5 apuestes, −$17,35 pa 6 y −$20,52 pa 7. Permitir más apuestes fai peor el ciclu mediu, non meyor.
Un ciclu gana $100 a nun ser que pierdan les n apuestes, lo que pasa con probabilidá qⁿ, onde q = 19/37. Cuando pierden toes, les apuestes 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ sumen 100 × (2ⁿ − 1). Asina que la media ye 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Equí 2q = 38/37, un pocu más de 1, asina que (2q)ⁿ crez con n y la media baxa: n = 5 da 1,1426 y −$14,26; n = 6 da 1,1735 y −$17,35; n = 7 da 1,2052 y −$20,52. Una escalera más llarga pierde menos vegaes, nel 3,6%, el 1,8% y el 0,9% de los ciclos, pero cada perda ye el doble de grande, y en cada ciclu pasa más dineru pela mesa, al 2,70% de cada apuesta.
Nun cilindru americanu 2q = 40/38 y les cifres son −$29,24, −$36,04 y −$43,20 (Taylor, 2021). En un xuegu ensin cerocilindruCeroLa única casiella verde, que nun cubre denguna suerte senciella, docena nin columna; l'orixe de la ventaya de la casa. Tamién: cero únicu, 0.Lleer too → 2q = 1, y cada ciclu da de media exactamente cero, seya como seya de llarga la escalera.
La «gran martingala» dobla l'apuesta dempués d'una perda y amiesta una unidádineruUnidáL'apuesta base cola que trabaya un sistema o un xugador. Les progresiones descríbense en unidaes pa que valgan en cualquier mesa.Lleer too →, asina que les apuestes son 1, 3, 7, 15, 31 … ¿Cuánto ganes cuando el primer aciertu llega na apuesta 1, 2, 3 o k? Con una unidá de $10 y un máximu de $500, ¿cada cuánto se rompe un ciclu, y cuánto cuesta un ciclu de media?
Amosar la solución
Rempuesta Un aciertu na apuesta k déxate k unidaes per enriba: +1, +2, +3 y asina. Con $10 y $500 el ciclu rompe dempués de cinco perdes, nel 3,57% de los ciclos, con −$570. De media un ciclu pierde $2,32 de $85,73 apostaos: un 2,70%.
L'apuesta k ye 2ᵏ − 1 unidaes: 1, 3, 7, 15, 31. Les primeres k − 1 apuestes sumen 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Un aciertu na apuesta k paga 2ᵏ − 1, asina que el ciclu acaba con (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unidaes per enriba: una unidá extra por cada perda enantes del aciertu.
A $10 la unidá, les apuestes son $10, $30, $70, $150 y $310; la siguiente, $630, pasa del máximu de $500. Cinco perdes siguíes, (19/37)⁵ = 3,57%, cuesten 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Media: los aciertos apurren $10 × k con probabilidá (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 pa k = 1 a 5, y la rotura llévase $570 con probabilidá 3,57%; en total −$2,32. El dineru apostáu ye de media $85,73 per ciclu, y 2,32/85,73 = 2,70%. La martingala normal na mesma mesa rompe dempués de seis perdes, nel 1,83% de los ciclos, con −$630, y pierde $1,74 de $64,20 apostaos: otra vegada un 2,70%.
Un xugador planea una martingala al coloráu con una primer apuesta de $1 en una mesa con un llímite de $1.000, asina que son posibles diez apuestes: $1, $2, $4 y asina hasta $512. ¿Cada cuánto pierde un ciclu les diez, cuánto tarda eso de media, y cada cuánto acaba asina una nueche de 200 apuestes?
Amosar la solución
Rempuesta Un ciclu pierde les diez alredor d'una vegada de cada 784, lo que cuesta $1.023. Eso son unes 1.600 apuestes de media, y una nueche de 200 apuestes da col muriu alredor del 11% de les vegaes. Un ciclu sigue perdiendo de media $0,31 de $11,31 apostaos: un 2,70%.
Una apuesta al coloráu pierde con una probabilidá de 19/37, cero incluyíu. Diez siguíes: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, alredor d'1 de cada 784. Les apuestes 1 + 2 + 4 + … + 512 sumen $1.023.
Un ciclu dura de media 2,05 apuestes, asina que 784 ciclos lleven unes 1.600 apuestes. Cuntando tirada a tirada, una racha de diez perdes apaez en dalgún momentu de 200 apuestes el 11,3% de les vegaes.
Ente desastre y desastre, el xugador gana $1 per ciclu: unos $783 enantes del malu, dempués −$1.023, alredor de −$240 en tol tramu. Per ciclu: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Dineru apostáu per ciclu: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Y −0,31/11,31 = −2,70%.
Compara con una primer apuesta de $10 y un llímite de $500, seis apuestes: el muriu llega una vegada de cada 55 ciclos, y una nueche de 200 apuestes atópalu el 84% de les vegaes. Un llímite más altu fai la cayida más rara y más grande, non más barata.
Nota d'humor
Más rara y mayor, con cada llímite. El productu ye constante.
Fontes
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.